Quantification des paradoxes de Borda : détermination d’un seuil minimum de premières places pour garantir la victoire du gagnant de Condorcet

Résumé

Dans la théorie du choix social, les travaux de Borda, Condorcet, Arrow et Saari ont mis en lumière les défis liés à l’agrégation des préférences, notamment l’incapacité de la règle de Borda à toujours refléter la volonté de la majorité (le gagnant de Condorcet). Cet article analyse cette déconnexion en explorant les situations où le candidat préféré par la majorité des votants se retrouve avec un score de Borda minimal ou quasi-minimal. La contribution principale de cet article est d’ordre analytique. Si la littérature documente l’existence de ces paradoxes, elle manque d’une condition quantifiée générale qui assure la convergence des deux règles, quel que soit le nombre d’options (m). En utilisant une approche de démonstration mathématique et d’analyse des profils de préférences, nous déterminons un seuil précis. Nous établissons qu’un candidat doit être classé premier par une proportion de votants P telle qu P>(m-1)/m   pour être assuré de ne pas être le dernier selon la règle de Borda, où m est le nombre de candidats. Cette condition fournit un seuil analytique garantissant la robustesse de la règle de Borda face à la majorité des votants. Ce seuil minimum démontre que plus le nombre d’options augmente, plus il est difficile de garantir que le gagnant de Condorcet soit également sélectionné par la règle de Borda, nécessitant un niveau de consensus majoritaire de plus en plus élevé.